Text
Quadratic Residues and Non-Residues; Selected Topics
Meskipun teori bilangan sebagai subjek matematika yang koheren dimulai dengan karya Fermat pada tahun 1630-an, teori bilangan modern, yaitu pengembangan subjek yang sistematis dan cermat secara matematis dari sifat-sifat dasar bilangan bulat, dimulai pada tahun 1801 dengan munculnya landmark Gauss. risalah Disquisitiones Arithmeticae [19]. Bagian utama dari Diskuisisi berkaitan dengan residu kuadrat dan non-residu: jika p adalah bilangan prima ganjil, bilangan bulat z adalah residu kuadrat (masing-masing, bukan residu kuadrat) dari p jika terdapat (masing-masing, tidak) bilangan bulat x sedemikian rupa sehingga x z mod p. Seperti yang akan kita lihat, residu kuadrat muncul secara alami segera setelah seseorang ingin menyelesaikan kongruensi kuadrat umum ax 2 ≡ 2 + bx + c ≡ 0 modm, a ≡ 0 modm, dan hal ini, pada kenyataannya, memotivasi beberapa minat yang Gauss dirinya ada di dalamnya. Dimulai dengan kontribusi mendasar Gauss, studi tentang residu kuadrat dan non-residu kemudian mengarah langsung pada banyak ide dan teknik utama yang digunakan di mana-mana dalam teori bilangan saat ini, dan tujuan utama dari catatan kuliah ini adalah untuk menggunakan studi ini. sebagai jendela untuk melihat perkembangan beberapa ide dan teknik tersebut. Untuk mencapai tujuan tersebut, kami akan menggunakan metode dari teori bilangan dasar, analitik, dan kombinatorial serta metode dari teori bilangan aljabar. Untuk mengikuti kuliah ini dengan manfaat yang paling besar, pembaca harus memahami hasil dasar teori bilangan dasar. Sumber yang bagus untuk materi ini (dan masih banyak lagi) adalah teks [30] dari Kenneth Ireland dan Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory. Sebuah fitur dari teks ini yang memiliki relevansi khusus dengan apa yang kita diskusikan adalah perlakuan Irlandia dan Rosen terhadap residu kuadrat dan pangkat lebih tinggi, yang patut diperhatikan karena keanggunan dan kelengkapannya serta ketajaman sejarahnya. Kami sebenarnya akan memanfaatkan beberapa pekerjaan mereka di Bab. 3 dan 7. Meskipun tidak mutlak diperlukan, beberapa pengetahuan tentang teori bilangan aljabar juga akan berguna untuk membaca catatan ini. Kami akan memberikan bukti lengkap beberapa fakta tentang bilangan aljabar dan kami akan mengutip fakta-fakta lain tanpa buktinya. Referensi kami untuk membuktikan hasil terakhir adalah risalah klasik Erich Hecke [27], Vorlesungen ¨uber die Theorie der Algebraischen Zahlen, dalam terjemahan bahasa Inggris yang sangat mudah dibaca oleh G. Brauer dan J. Goldman. Mengenai teks Hecke, Andr´e Weil [58, kata pengantar] berkata sebagai berikut: “Untuk menyempurnakan Hecke, dengan menerapkan garis klasik teori bilangan aljabar, akan menjadi tugas yang sia-sia dan mustahil.” Kami sangat setuju dengan penilaian Weil dan sangat merekomendasikan buku Hecke kepada semua orang yang tertarik dengan teori bilangan. Kami selanjutnya menawarkan ikhtisar singkat tentang apa yang harus diikuti. Catatan-catatan tersebut disusun dalam rangkaian sepuluh bab. Bab 1, pengantar bab-bab selanjutnya, memberikan motivasi untuk mempelajari residu dan non-residu kuadrat dengan mempertimbangkan apa yang perlu dilakukan ketika ingin menyelesaikan kongruensi kuadrat umum yang disebutkan di atas. Kami membahas secara singkat isi Disquisitiones Arithmeticae, menyajikan beberapa informasi biografi tentang Gauss, dan juga mencatat beberapa hasil dasar dari teori bilangan dasar yang akan sering digunakan dalam sekuelnya. Bab 2 memberikan beberapa fakta berguna tentang residu kuadrat dan non-residu yang menjadi dasar bab-bab selanjutnya. Di sini kami juga menjelaskan prosedur yang memberikan strategi untuk memecahkan apa yang kita sebut Masalah Dasar: jika d adalah bilangan bulat, carilah semua bilangan prima p sehingga d adalah residu kuadrat dari p. Hukum Timbal Balik Kuadrat adalah pokok bahasan Bab. 3. Kami menyajikan tujuh bukti dari hasil penting yang mendasar ini (lima di Bab 3, satu di Bab 7, dan satu di Bab 8), yang fokus utamanya (namun tidak eksklusif) pada ide-ide yang digunakan dalam pembuktian timbal balik kuadrat. yang ditemukan Gauss. Bab 4 membahas beberapa penerapan timbal balik kuadrat yang menarik dan penting, berkaitan dengan penyelesaian Masalah Dasar dari Bab. 2 dan dengan struktur himpunan bagian berhingga S dari bilangan bulat positif yang memiliki setidaknya satu dari dua sifat berikut: untuk bilangan prima p yang jumlahnya tak terhingga, S adalah himpunan residu kuadrat dari p, atau untuk bilangan prima p yang jumlahnya tak terhingga, S adalah a himpunan non-residu kuadrat dari p. Di sini kontribusi mendasar Dirichlet terhadap teori residu kuadrat memasuki cerita kita dan memulai tema besar yang akan berperan sepanjang sisa pekerjaan kita. Bab 4 diakhiri dengan penerapan menarik residu kuadrat dalam kriptologi modern, yang disebut bukti tanpa pengetahuan atau pengungkapan minimal. Penggunaan metode transendental dalam teori residu kuadrat, dimulai pada Bab. 4, berlanjut di Bab. 5 dengan studi tentang fungsi zeta bidang bilangan aljabar dan penerapannya pada solusi beberapa masalah yang dibahas di Bab. 4. Bab 6 memberikan bukti dasar dari beberapa hasil di Bab. 5 yang meniadakan penggunaan fungsi zeta di sana. Pertanyaan tentang bagaimana residu kuadrat dan non-residu dari bilangan prima p didistribusikan di antara bilangan bulat 1, 2,...,p 1 dibahas dalam Bab. 7, dan di sana kami menyoroti hasil dan metode tambahan karena Dirichlet yang menggunakan teori dasar fungsi-L yang melekat pada karakter Dirichlet yang ditentukan oleh modulus tertentu. Karena pentingnya nilai positif pada s = 1 fungsi Dirichlet L dalam pembuktian hasil Bab. 7, kami hadirkan di Bab. 8 pembahasan dan pembuktian rumus bilangan kelas Dirichlet sebagai cara untuk menjelaskan secara pasti mengapa nilai pada s = 1 fungsi L adalah positif. Dalam Bab. 9 kemunculan residu kuadrat dan non-residu sebagai perkembangan aritmatika panjang yang sewenang-wenang dipelajari melalui beberapa gagasan Harold Davenport [5] dan beberapa teknik dalam teori bilangan kombinatorial yang dikembangkan dalam karya terbaru penulis [62, 63]. Masalah utama yang muncul dalam pendekatan kami terhadap masalah ini adalah estimasi jumlah karakter tertentu pada bidang elemen p, p adalah bilangan prima, dan kami mengatasi masalah ini dengan menggunakan beberapa hasil dari Weil [57] dan Perel'muter [44]. Diskusi kami diakhiri dengan Bab. 10, di mana Teorema Batas Pusat dari teori probabilitas dan teorema Davenport dan Paul Erd¨os [7] digunakan untuk memberikan bukti anggapan bahwa karena p prima cenderung tak terhingga, residu kuadrat p didistribusikan secara acak ke seluruh subinterval tertentu dari himpunan { 1, 2,...,p 1 } . Catatan ini merupakan penjabaran dari isi mata kuliah topik khusus-inmatematika yang ditawarkan selama semester musim panas tahun 2014 dan 2015 di Universitas Oakland. Saya sangat berterima kasih kepada kolega saya Meir Shillor karena telah menyarankan agar saya memberikan kursus semacam itu dan dengan demikian memberikan saya dorongan untuk memikirkan tentang apa saja manfaat dari kursus tersebut. Saya juga sangat berterima kasih kepada rekan-rekan saya Eddie Cheng dan Serge Kruk, yang pertama telah memberikan saya bantuan yang sangat murah hati dan berharga dengan berbagai masalah LaTeX yang muncul selama persiapan naskah dan yang terakhir untuk memformat semua gambar dalam teks. Saya berterima kasih kepada murid-murid saya Saad Al Najjar, Amelia McIlvenna, dan Julian Venegas karena telah membaca catatan versi awal dan memberikan beberapa komentar mendalam yang sangat membantu saya. Apresiasi saya yang tulus dan sepenuh hati juga saya sampaikan kepada para wasit anonim atas banyak komentar dan saran yang menghasilkan perbaikan yang sangat substansial baik dalam isi maupun eksposisi catatan ini. Yang terakhir, dan di atas segalanya, saya sangat berterima kasih kepada istri tercinta saya Linda atas cinta, dukungan, dan dorongannya yang tak henti-hentinya; surat sederhana ini didedikasikan untuknya.
No copy data
No other version available